Généralités

Définition  

Soit  `(u_n)` une suite et \(A\) un réel.
On dit que  `(u_n)` tend vers  \(+\infty\) quand  `n` tend vers  \(+\infty\) , et on écrit  \(\boxed{\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=+\infty}\) ,
si tout intervalle de la forme `[A;+\infty[` contient toutes les valeurs de `u_n` à partir d'un certain rang.

Traduction à l'aide de quantificateurs : \(\forall A \in \mathbb{R},\text{ } \exists n_0 \in \mathbb{N} \text{ tel que } \forall n \geqslant n_0,\text{ }u_n\geqslant A.\)

Exemples

1. \(\lim\limits_{n \to +\infty}n=+\infty\)
2. \(\lim\limits_{n \to +\infty}n^2=+\infty\)  et plus généralement, pour tout \(p \in \mathbb{N}^*\) , \(\lim\limits_{n \to +\infty}n^p=+\infty\)
3. \(\lim\limits_{n \to +\infty}\sqrt{n}=+\infty\)
4. \(\lim\limits_{n \to +\infty}\text{e}^n=+\infty\)

 Définition

Soit   `(u_n)` une suite et \(A\) un réel.
On dit que  `(u_n)` tend vers  \(-\infty\) quand  `n` tend vers  \(+\infty\) , et on écrit  \(\boxed{\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=-\infty}\) ,
si tout intervalle de la forme `]-\infty;A]` contient toutes les valeurs de `u_n` à partir d'un certain rang.

Traduction à l'aide de quantificateurs : \(\forall A \in \mathbb{R},\text{ } \exists n_0 \in \mathbb{N} \text{ tel que } \forall n \geqslant n_0,\text{ }u_n\leqslant A.\)

Exemples  

1. \(\lim\limits_{n \to +\infty}-n=-\infty\)
2. \(\lim\limits_{n \to +\infty}-n^2=-\infty\)  et plus généralement, pour tout \(p \in \mathbb{N}^*\) , \(\lim\limits_{n \to +\infty}-n^p=-\infty\)
3. \(\lim\limits_{n \to +\infty}-\sqrt{n}=-\infty\)
4. \(\lim\limits_{n \to +\infty}-\text{e}^n=-\infty\)